Equações de Navier-Stokes. Modelagem matemática. Solução de sistemas de equações diferenciais

O sistema de equações de Navier-Stokes é usado parateoria da estabilidade de certos fluxos, bem como descrever a turbulência. Além disso, baseia-se no desenvolvimento da mecânica, que está diretamente relacionada aos modelos matemáticos gerais. Em geral, essas equações têm um enorme estoque de informações e são pouco estudadas, mas foram derivadas em meados do século XIX. Os principais casos que ocorrem são considerados desigualdades clássicas, isto é, um fluido invíscido ideal e camadas limite. O resultado dos dados iniciais pode ser as equações de acústica, estabilidade, movimentos turbulentos médios, ondas internas.

A formação e desenvolvimento de desigualdades

As equações originais de Navier-Stokesenormes dados de efeitos físicos, e desigualdades investigativas diferem em que eles têm a complexidade de características. Devido ao fato de serem também não-lineares, não-estacionárias, com a presença de um pequeno parâmetro com uma derivada mais alta inerente e a natureza do movimento do espaço, eles podem ser estudados usando métodos numéricos.

Modelagem matemática diretaturbulência e movimento de fluidos na estrutura de equações diferenciais não-lineares tem um valor direto e fundamental neste sistema. As soluções numéricas da Navier-Stokes eram complexas, dependendo de um grande número de parâmetros, portanto causavam discussões e eram consideradas incomuns. No entanto, na década de 60 lançou as bases para o desenvolvimento de métodos hidrodinâmicos e matemáticos, a formação e melhoria, bem como a ampla distribuição de computadores.

Mais informações sobre o sistema Stokes

A modelagem matemática moderna na estrutura das desigualdades de Navier está totalmente formada e é considerada como uma direção independente nas áreas do conhecimento:

• Mecânica dos fluidos e gases;
• aero-hidrodinâmica;
• engenharia mecânica;
• energia;
• fenômenos naturais;
• tecnologia.

A maioria das aplicações dessa naturezarequer soluções construtivas e rápidas de fluxo de trabalho. O cálculo exato de todas as variáveis ​​neste sistema aumenta a confiabilidade, reduz o consumo de metal, o volume de esquemas de energia. Como resultado, os custos de processamento são reduzidos, o componente operacional e tecnológico de máquinas e dispositivos é melhorado, a qualidade dos materiais torna-se maior. O crescimento contínuo e o desempenho de computadores oferecem a oportunidade de melhorar a modelagem numérica, bem como métodos similares para resolver sistemas de equações diferenciais. Todos os métodos e sistemas matemáticos se desenvolvem objetivamente sob a influência das desigualdades de Navier-Stokes, que contêm reservas significativas de conhecimento.

Convecção natural

Os problemas da mecânica de um fluido viscoso foram estudadoscom base nas equações de Stokes, transferência convectiva natural de calor e massa. Além disso, as aplicações nessa área, como resultado de práticas teóricas, progrediram. A heterogeneidade da temperatura, a composição do líquido, gás e gravidade causam certas flutuações, que são chamadas de convecção natural. É também gravitacional, que também é dividido em ramos térmicos e de concentração.

Entre outras coisas, esse termo é compartilhado.termocapilar e outros tipos de convecção. Os mecanismos existentes são universais. Eles estão envolvidos e sustentam a maioria dos movimentos de gás, líquidos que são encontrados e estão presentes no reino natural. Além disso, os elementos estruturais baseados em sistemas térmicos, bem como homogeneidade, eficiência de isolamento térmico, separação de substâncias, perfeição estrutural de materiais criados a partir da fase líquida, afetam e afetam.

Características desta classe de movimentos

Os critérios físicos são expressos em uma estrutura interna complexa. Neste sistema, o núcleo do fluxo e a camada limite são difíceis de distinguir. Além disso, os recursos são as seguintes variáveis:

• influência mútua de vários campos (movimento, temperatura, concentração);
• a forte dependência dos parâmetros acima ocorre na fronteira, condições iniciais, que, por sua vez, determinam os critérios de similaridade e vários fatores complicados;
• valores numéricos na natureza, mudança tecnológica em um sentido amplo;
• Como resultado, a operação de instalações técnicas e similares torna-se difícil.

As propriedades físicas das substâncias que mudamuma ampla faixa sob a influência de vários fatores, assim como a geometria e as condições de contorno afetam as tarefas de convecção, e cada critério especificado desempenha um papel importante. As características de transferência de massa e calor dependem de uma variedade de parâmetros desejados. Para aplicações práticas, as definições tradicionais são necessárias: fluxos, vários elementos de modos estruturais, separação de temperatura, estrutura de convecção, micro e macro heterogeneidade de campos de concentração.

Equações diferenciais não lineares e sua solução

Modelagem matemática, ou, de uma maneira diferente,Os métodos de experimentos computacionais são desenvolvidos levando em conta um sistema específico de equações não-lineares. A forma melhorada de remover desigualdades consiste em vários estágios:

1. A escolha do modelo físico do fenômeno que está sendo investigado.
2. Os valores iniciais definidores são agrupados em um conjunto de dados.
3. Um modelo matemático para resolver as equações de Navier-Stokes e as condições de contorno em qualquer grau descreve o fenômeno criado.
4. Um método ou método de calcular o problema está sendo desenvolvido.
5. Um programa está sendo criado para resolver sistemas de equações diferenciais.
6. Cálculos, análise e processamento de resultados.
7. Aplicação na prática.

De tudo isso, segue-se que a principal tarefa éChegar à conclusão correta com base nessas ações. Ou seja, o experimento físico utilizado na prática deve trazer certos resultados e criar uma conclusão sobre a correção e acessibilidade do modelo ou programa de computador desenvolvido em prol desse fenômeno. No final, você pode julgar o melhor método de cálculo ou que precisa ser melhorado.

Solução de sistemas de equações diferenciais

Cada estágio especificado dependedeterminados parâmetros de domínio. O método matemático é realizado para resolver sistemas de equações não-lineares que pertencem a diferentes classes de problemas e seu cálculo. O conteúdo de cada um deles requer completude, precisão das descrições físicas do processo, bem como características nas aplicações práticas de qualquer uma das áreas estudadas.

Cálculo matemático baseado emOs métodos para resolver equações não lineares de Stokes são aplicados na mecânica de fluidos e gases e são considerados o próximo passo após a teoria de Euler e a camada limite. Assim, nesta versão do cálculo, há altas exigências de eficiência, velocidade e perfeição de processamento. Especialmente essas diretrizes se aplicam a regimes de fluxo que podem perder a estabilidade e passar para a turbulência.

Mais sobre a cadeia de ação

Cadeia tecnológica, mais precisamente matemáticaos estágios devem ser providos de continuidade e força igual. A solução numérica das equações de Navier-Stokes consiste na discretização - quando se constrói um modelo de dimensão finita, haverá algumas desigualdades algébricas na composição e um método deste sistema. Um método específico de cálculo é determinado por uma variedade de fatores, entre os quais: características da classe de tarefas, requisitos, capacidades técnicas, tradições e qualificações.

Soluções numéricas de desigualdades não estacionárias

Para construir um sistema de cálculo para problemasé necessário determinar a ordem da equação diferencial de Stokes. De fato, ele contém o esquema clássico de desigualdades bidimensionais para transferência por convecção, calor e massa de Boussinesq. Tudo isso é derivado da classe geral do problema de fluido compressível de Stokes, cuja densidade não depende da pressão, mas tem relação com a temperatura. Em teoria, é considerado dinâmico e estaticamente estável.

Com a teoria de Boussinesq, toda a termodinâmicaos parâmetros e seus valores em caso de desvios não mudam muito e permanecem correspondendo a condições estáticas de equilíbrio e inter-relacionadas com ele. O modelo criado com base nessa teoria leva em consideração flutuações mínimas e possíveis divergências no sistema no processo de alteração da composição ou temperatura. Assim, a equação de Boussinesq se parece com isto: p = p (c, T). Temperatura, impureza, pressão. Além disso, a densidade é uma variável independente.

A essência da teoria de Boussinesq

Descrever a convecção, na teoria de Boussinesqimportante característica distintiva aplicável do sistema, que não contém efeitos hidrostáticos de compressibilidade. As ondas acústicas se manifestam em um sistema de desigualdades se a densidade e a pressão dependem. Efeitos semelhantes são filtrados ao calcular desvios de temperatura e outras variáveis ​​de valores estáticos. Este fator afeta significativamente o design de métodos computacionais.

No entanto, se ocorrer alguma alteração oudiferenças nas impurezas, variáveis, a pressão hidrostática aumenta, então a equação deve ser ajustada. As equações de Navier-Stokes e as desigualdades comuns têm diferenças, especialmente para calcular a convecção do gás compressível. Nessas tarefas, há modelos matemáticos intermediários que levam em consideração mudanças nas propriedades físicas, ou fazem um relato detalhado das mudanças na densidade, que depende da temperatura, pressão e concentração.

Características e características das equações de Stokes

Navier e suas desigualdades formam a baseconvecção, além disso, tem especificidade, certas características que aparecem e são expressas em forma de realização numérica, e também não dependem da forma do registro. Uma característica dessas equações é a essência espacial-elíptica das soluções, que é devido ao fluxo viscoso. Para resolver isso é necessário usar e aplicar métodos típicos.

A desigualdade da camada limite é diferente. Essas condições exigem certas condições. No sistema Stokes, existe uma derivada mais alta, devido à qual a solução muda e se torna suave. A camada limite e as paredes crescem, no final, essa estrutura não é linear. Como resultado, a semelhança e relação com o tipo hidrodinâmico, bem como com o fluido incompressível, componentes inerciais, a quantidade de movimento nos problemas desejados.

A característica da não linearidade nas desigualdades

Ao resolver sistemas de equações de Navier-Stokesgrandes números de Reynolds são levados em conta, o que leva a complexas estruturas espaço-temporais. Na convecção natural não há velocidade definida nas tarefas. Assim, o número de Reynolds desempenha um papel de grande escala no valor especificado e também é usado para obter várias igualdades. Além disso, o uso desta opção é amplamente utilizado para obter respostas com os sistemas de Fourier, Grashof, Schmidt, Prandtl e outros.

Na aproximação de Boussinesq, as equações diferemespecificidade, devido ao fato de que uma proporção significativa da influência mútua dos campos de temperatura e fluxo é devido a certos fatores. O fluxo não padrão da equação é devido à instabilidade, o menor número de Reynolds. No caso do fluxo de fluido isotérmico, a situação com desigualdades muda. Modos diferentes estão contidos nas equações de Stokes não estacionárias.

A essência e o desenvolvimento da pesquisa numérica

Até recentemente, a hidrodinâmica linearas equações implicaram o uso de grandes números de Reynolds e estudos numéricos do comportamento de pequenas perturbações, movimentos e outros. Hoje, várias tendências implicam simulação numérica com ocorrências diretas de regimes transitórios e turbulentos. Tudo isso é resolvido pelo sistema de equações não-lineares de Stokes. O resultado numérico neste caso é o valor instantâneo de todos os campos de acordo com os critérios especificados.

Manipulando resultados transitórios

Valores finais instantâneos sãoimplementações numéricas que se prestam aos mesmos sistemas e métodos de processamento estatístico que as desigualdades lineares. Outras manifestações de movimento não estacionário são expressas em ondas internas variáveis, fluido estratificado, etc. Entretanto, no resultado final, todos esses valores são descritos pelo sistema original de equações e processados, analisados ​​por valores bem estabelecidos, esquemas.

Outras manifestações de não estacionariedade são pronunciadas.ondas, que são consideradas como um processo de transição da evolução das perturbações iniciais. Além disso, existem classes de movimentos não-estacionários que estão associados a várias forças de massa e suas vibrações, bem como com condições térmicas variando ao longo de um intervalo de tempo.